函数解析式的求解对研究函数非常重要，因此成为历年高考的热点和重点。本文结合平时的教学对求函数的解析式的方法作一些总结,以供参考。

一. 代入法

已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.

[例1]若f(x)=2x ＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].

[解] ∵f(x)=2x ＋1,g(x)=x－1.

∴f[g(x)]=2(x－1) +1=2x －4x＋3  ;  g[f(x)]= 2x ＋1－1=2x .

二. 换元法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=t x= (t),则f(t)=h[ (t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。

[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1),f(x ).

[解]设 +1=t,则 =t－1,x=( t－1) ,且t≥1.

   f(t)= ( t－1) +2 (t－1)=t －1(t≥1).

 ∴f(x)= x －1(x≥1), f(x+1)= x +2x (x≥0), f(x )=x －1(x≥1或x≤－1).

三. 配凑法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。

[例3] 已知f(x－ )= x +  , 求f(x+1).

[解] ∵f(x－ )= x + =(x－ ) +2.

∴f(x)= x +2∴f(x+1)= (x+1) +2= x +2x+3.

四. 待定系数法

根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。先设出函数的一般形式,再利两个多项式恒等的充要条件联立解方程组,求出相关字母的值,即可得出所求函数的解析式。

[例4]已知f(x)=3x－1, f[h(x)]= g(x)=2x+3,h(x)为x的一次函数，求h(x).

[解] 设h(x)=kx+b(k≠0), 则f[h(x)]=3 (kx+b)－1=3kx+3b－1.

∵ f[h(x)]= g(x)=2x+3

∴ 解得   .  所以h(x)= .

五. 解方程组法

若f(x)满足某个等式,求函数f(x)的解析式。先将f(x)看作一个未知数,再构造方程,列出有关方程组,消去另外的未知数便得f(x)的解析式。

[例5] 已知f(x) －f( ). lnx=x+1. 求函数f(x)的解析式.

[解]∵f(x) －f( ). lnx=x+1-------①

用 代替①中x得：f( )+f(x) . lnx= +1-------②

∴由①②解方程组消去f( )得f(x)= .

六. 赋值法

对于某些抽象函数,通过在函数定义域内,赋予变量一些特殊值,利用函数关系式进行化简,从而求出函数解析式。

[例6] 设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x－y)= f(x)－y(2x－y+1). 求f(x)的解析式.

[解] ∵f(0)=1

∴令x－y=0, 则f(0)= f(x) －x(2x－x+1)

∴f(x)= x +x+1.

七. 函数性质法

已知f(x)在某一区间上的表达式,求在其他区间上的表达式,常利用函数的某些性质（奇偶性,周期性,对称性等）实施区间转换,再利用已知区间上的表达式求解。但要注意利用代换思想是解决图象上的点满足有关条件或对称问题,从而求函数解析式的常用方法。

[例7]设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞]时,f(x)=x(1+ ),求f(x)的解析式.

[解] ∵f(x)是R上的奇函数 ∴f(－x)= －f(x)

任取x＜0, 则－x＞0

∵当x∈[0,+∞]时, f(x)=x(1+ )

∴f(－x)= －x（1－ ）

∴f(x)= x(1－ )

故f(x)的解析式为f(x)=  

八. 递推归纳法

若f(x)是定义在正整数集上的函数,则可根据已知递推关系式,通过递推的方法求解析式.

[例8] 已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)= f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1. 若x∈N ,试求f(x)的解析式.

[解]依题意令y=1,则f(x+1)= f(x)+f(1)+2(x+1)+1

. ∵f(1)=1   ∴f(x+1)－f(x) =2x+4

又∵x∈N    

∴f(2) －f(1) =2×1+4

    f(3) －f(2) =2×2+4

    f(4) －f(3) =2×3+4

    ……

   f(x)－f(x－1) =2×(x－1)+4

将以上各式相加得：

f(x)－f(1) =2[1+2+3+……+(x－1)]+(4+4+……+4)

        =2× +4(x－1)=x +3x－4

∴f(x) =x +3x－3 (x∈N ).

九. 函数图象变换法

若所求函数的图象可由已知函数图象经过平移,对称,伸缩,翻折等变换得到,则可以由已知函数的解析式求出所求函数的解析式.

[例9] 已知函数f(x)的图象与曲线C关于y轴对称,把曲线C沿x轴负方向平移一个单位后恰好与函数y= 的图象重合. 求函数f(x)的解析式.

[解]依题意:将函数y= 的图象沿x轴正方向平移一个单位得到曲线C对应的解析式为y= = ,再将曲线C关于y轴对称得到函数解析式为y= .

故所求函数f(x)的解析式为f(x)= .

十. 导数法

根据导数的几何意义:函数y= f(x)在x 处的导数f (x)就是曲线y= f(x)在点(x ,f(x ))处切线的斜率.再结合题目的已知条件进行求解.

[例10] 已知函数f(x)=ax +bx +cx +dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,－1)且在x=1处的切线方程为2x+y－2=0. 求函数f(x)的表达式.

[解] ∵f(x)为偶函数 ∴b=d=0 即f(x)=ax +cx +e.

  又∵f(x)的图象过点A(0,－1)

    ∴ e=－1

    ∴f(x)=ax +cx －1, f (x)=4ax +2cx.

又∵f(x)在x=1处的切线方程为2x+y－2=0.

  ∴切点为(1,0), 即:

故所求函数f(x)的表达式为f(x)=－2x +3x －1.